不同方法插值算法实现

已知插值节点序列(xi , yi),i = 0,1,2,……,n，用 Lagrange 插值多项式L n (x)计算的函数f (x)在点x0的近似值。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
function b = lagrange( x,y,x0 )
%实现拉格朗日插值汉书值的求解
%   此处显示详细说明
n = length(x);%总插值个数
D = x0;
p = 0.0;
for k=1:n
    t = 1.0;
    for i = 1:n
        if i~=k
            t = t * (D-x(i))/(x(k)-x(i));
        end
    end
    p = p+t*y(k);
end
b = p;
%plot(D,p);
end

已知插值节点序列(xi , yi),i = 0,1,2,…,n，用牛顿（Newton）插值值多项式N (x)n计算的函数f (x)在点0 x的近似值。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
function ooo = newton( x,y,x0 )
%牛顿插值法
%此处显示详细说明
n=length(x);
f=zeros(n,n);
shangcha = zeros(n,n);
shangcha(1) = y(1);
for i=1:n%先把Y的数存起来~
    f(i) = y(i);
end
%现在开始求解差商
for i=1:n
    for k = 1:n-i
        f(k) = (f(k+1)-f(k))/(x(k+i)-x(k));
    end
    shangcha(i+1) = f(1);
end
%现在开始计算牛顿插值

x_x0=1;
F=0;
for i=1:n
    F=F+shangcha(i)*x_x0;
    x_x0=x_x0*(x0-x(i));
end
ooo = F;
end

用线性函数p(x) = a + bx拟合给定数据(xi , yi),i = 0,1,2,…,m −1。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
function ooo = linearfitting( x,y )
%实现线性拟合
%   此处显示详细说明
n = length(x);

xk=0;
yk=0;
xkyk=0;
xk2=0;
for i=1:n
    xk=xk+x(i);
    yk=yk+y(i);
    xk2=xk2+x(i)^2;
    xkyk=xkyk+x(i)*y(i);
end
syms a b;
eq1 = yk == n*a+xk*b;
eq2 = xkyk == xk*a+xk2*b;
s = solve(eq1,eq2,[a,b]);
ooo(1)=double(s.a);
ooo(2)=double(s.b);
end

不同方法插值调用尝试

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
%插值实例：main
n = input('插值等分为几块？');
X = -10:(10/n):10;%前后面是上下限，中间是步长，matlab会自动将从下限到上限的中间值按照步长进行划分并添加到数组里
%这里我们只研究从-10到10的函数
m = length(X);
Y = zeros(1,m);%创建全零数组，长度和X保持一致
syms x;%这里是定义了一个可以修改的局部变量,也就是自变量
f(x) = x^3+3^x-2*x;%这个是手动规定的函数
for i = 1:m
    Y(i) = f(X(i));
end

x0 = input('\n请输入你想要计算的插值');
ylagr=lagrange(X,Y,x0);
fprintf('你所想要得到的拉格朗日插值结果为：');
disp(ylagr);
ynewt=newton(X,Y,x0);
fprintf('你所想要得到的牛顿插值结果为：');
disp(ynewt);
plot(X,Y,'-',x0,ylagr,'o',x0,ynewt,'x');
ylim([-10,10]);
fprintf('下面是线性拟合内容：');
x = [2,4,4.6,5,5.2,5.6,6,6.6,7];
y = [5,3.5,2.7,2.4,2.5,2,1.5,1.2,1.2];
plot(x,y,'.');
hold on;
ab = linearfitting(x,y);
a = ab(1);
b = ab(2);
linex(1) = -10;
linex(2) = 10;
liney(1) = a+b*linex(1);
liney(2) = a+b*linex(2);
plot(linex,liney,'-');

总结

本次实验，我们完成了不同方法插值函数的编写，比较了几种插值方法的区别。收获很多，完美